1. Les nombres m!*2ⁿ +/- 1 ("FactoProths") et m#*2ⁿ +/- 1 ("PrimoProths") n'ont pas de petits diviseurs <= m.
2. Pour k*2ⁿ+1 et si k<2ⁿ on peut utiliser le test de primalité déterministe de Proth. Dans ce cas il faudra lier n à m! ou à m#. On remarquera aussi que la base pour le test est > m.
3. La densité de nombres premiers parmi ces nombres est beaucoup plus grande que pour des nombres de Proth classiques (k et n quelconques non liés), ce qui permet de nouvelles méthodes de recherche.

Choix de n afin de vérifier la condition des nombres de Proths k<2ⁿ :

Pour les FactoProths :
      Par l'utilisation de la formule de Stirling  pour m! il vient  environ n > (m+1.5)*ln(m)/ln(2) - m*(1+1/ln(2)) + 2

Pour les PrimoProths :
      Par l'utilisation de la fonction de Tchébycheff  Théta(x)= environ x, il vient environ n > m/ln(2) - 1
 

Généralisation :
Il est possible de remplacer la base 2 par une autre base b quelconque, mais le test équivalent de Proth devient plus complexe.  

Les premiers Records

   et quelques curiosités (non proths) :

Vous pouvez aussi consulter les liens suivants :

•  Prime Pages glossary factorial prime de Chris K. Caldwell.
•  Prime Pages glossary primorial de Chris K. Caldwell.
•  The top twenty: Primorial and Factorial Primes de Chris K. Caldwell.