Le cryptage à base de courbes elliptiques (introduction)

 

Origine :

     La théorie des courbes elliptiques est assez récente : elle s'est surtout développée ces dix dernières années.

Mécanisme :

     Une courbe elliptique est une courbe mathématique définie par l'équation implicite suivante :

et sont choisis tel que . Voici par exemple la courbe qu'on obtient facilement avec Maple :

Courbe elliptique

    On peut définir sur une courbe elliptique l'addition de deux points P et Q de la façon suivante :
 - On trace la droite . Elle coupe la courbe elliptique en un point qu'on appelle .
 - Le point est obtenu en prenant l'image de par la symétrie axiale d'axe .

Addition de deux points sur une courbe elliptique

    Si on veut effectuer , alors on prendra comme droite la tangente au point P.

    Par la suite, on notera la somme  (k fois).

    Si P n'est pas "trop particulier" et si l'on considère notre courbe elliptique sur un corps fini, alors il est très difficile de trouver un entier a tel que , où P' est un point engendré par P. C'est sur ce problème dit "du logarithme discret sur les courbes elliptiques" que repose la cryptographie à base de courbes elliptiques.

 

Exemple :

Voir feuille de calcul Maple.

 

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